الانحراف المعياري :

الإنحراف المعياري هو مقياس يحدد مدى تباعد أو تقارب القراءات عن وسطها الحسابي .

البيانات غير المبوبة :

إذا كان لدينا ن من القراءات و هي :

س₁ ، س₂ ، ...... ، س_ن

ووسطها الحسابي  تكون هذه القراءات متقاربة مع بعضها إذا كانت قريبة من وسطها الحسابي  ، آي إذا كانت انحرافاتها عن  صغيرة ، وبالتالي فإنه يمكن استخدام انحرافات القراءات عن وسطها الحسابي كمقياس للتشتت ، ويمكن أخذ متوسط هذه الإنحرافات ، وبما أن مجموع انحرافات القراءات لآى بيانات يساوي صفراً ، لآن بعض الإنحرافات يكون موجبا ، و البعض الآخر يكون سالباً ، فتتلاشي قيم هذه الإنحرافات مع بعضها البعض ، والإنحراف المعياري يأخذ مربع الإنحرافات بدلاُ من الإنحرافات ذاتها أى أن الإنحراف المعياري :

وهذ يسمي بالتباين ، والتباين هو مربع الإنحراف المعياري .

تعريف –9

الإنحراف المعياري هو الجذر التربيعي للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القراءات عن وسطها الحسابي .

وعادة يرمز للانحراف المعياري بالرمز ع و هو :

مثال – 21

أوجد الانحراف المعياري للقراءات التالية : 15 ، 12 ، 10 ، 9 ، 14

الحل :

نحسب المتوسط الحسابي :

        =(15 + 12 + 10 + 9 + 14) \ 5

        = 60 \ 5

        = 12

نكون جدولاُ لحساب الإنجراف المعياري يتكون من الدرجة ، وانحراف الدرجة عن الوسط الحسابي ، ومربع الإنحراف كما يلي :

التباين هو :

  = (1\5) × 26

  = 5.2

و الإنحراف المعياري هو :

 = 2.28

و للإنحراف المعياري صيغة مختصرة هي :

و بالطبع فالتباين هو مربع الانحراف المعياري .

مثال – 22

أوجد الانحراف المعياري للبيانات التالية بالطريقة المختصرة :

15 ، 12 ، 10 ، 9 ، 14

الحل :

نحسب المتوسط الحسابي :

        =(15 + 12 + 10 + 9 + 14) \ 5

        = 60 \ 5

        = 12

نكون جدولاً للحسابات يكون فيه العمود الأول للقراءات والعمود لمربعات القراءات كما يلي :

ومن ذلك نجد أن :

و بذلك يكون التباين :

        = (1\5) × 746 – (60\5)²

        =149.2 – 12 × 12

        = 5.2

ومن ذلك يكون الانحراف المعياري :

= 2.18

البيانات المبوبة :

من تعريف الانحراف المعياري في حالة البيانات غير المبوبة ، فإنه يمكن استنساخ صيغة الانحراف المعياري للبيانات المبوبة في جدول تكراري كما يلي :

حيث أن :      س     ترمز لمراكز الفئات

                ك      التكرار المناظر لمركز الفئة .

                ن      مجموع التكرارات = ك

                   الوسط الحسابي = ( س ك)\ ن

ولو استخدمنا خواص التجميع يكون لدينا الصيغة المختصرة التالية :

مثال –23

أوجد الانحراف المعياري لبيانات أجور:

نكون الجدول التالي :

ومن ذلك نجد أن :

          =1\80  × 566800 – ( 6600 \80)²

          = 7085 – (82.5) ²

        = 7085 – 6806.25

        = 278.75

ومن ذلك فالانحراف المعياري

        = 16.696